Funzione di distribuzione di probabilità vs funzione di densità di probabilità
La probabilità è la probabilità che un evento accada. Questa idea è molto comune e viene utilizzata frequentemente nella vita quotidiana quando valutiamo le nostre opportunità, transazioni e molte altre cose. Estendere questo semplice concetto a un insieme più ampio di eventi è un po' più impegnativo. Ad esempio, non riusciamo a capire facilmente le possibilità di vincere una lotteria, ma è conveniente, piuttosto intuitivo, dire che c'è una probabilità che uno su sei ottenga il numero sei in un dado lanciato.
Quando il numero di eventi che possono verificarsi aumenta, o il numero di possibilità individuali è grande, questa idea piuttosto semplice di probabilità fallisce. Pertanto, deve essere data una solida definizione matematica prima di affrontare problemi di maggiore complessità.
Quando il numero di eventi che possono verificarsi in una singola situazione è grande, è impossibile considerare ogni evento individualmente come nell'esempio dei dadi lanciati. Quindi, l'intero insieme di eventi viene sintetizzato introducendo il concetto di variabile casuale. È una variabile, che può assumere i valori di eventi diversi in quella particolare situazione (o spazio campionario). Dà un senso matematico a semplici eventi nella situazione e un modo matematico di affrontare l'evento. Più precisamente, una variabile casuale è una funzione di valore reale sugli elementi dello spazio campionario. Le variabili casuali possono essere discrete o continue. Di solito sono indicati dalle lettere maiuscole dell'alfabeto inglese.
La funzione di distribuzione di probabilità (o semplicemente la distribuzione di probabilità) è una funzione che assegna i valori di probabilità per ogni evento; cioè fornisce una relazione con le probabilità per i valori che la variabile casuale può assumere. La funzione di distribuzione di probabilità è definita per variabili casuali discrete.
La funzione di densità di probabilità è l'equivalente della funzione di distribuzione di probabilità per le variabili casuali continue, fornisce la probabilità che una certa variabile casuale assuma un certo valore.
Se X è una variabile casuale discreta, la funzione data come f (x)=P (X=x) per ogni x nell'intervallo di X è chiamata funzione di distribuzione di probabilità. Una funzione può fungere da funzione di distribuzione di probabilità se e solo se la funzione soddisfa le seguenti condizioni.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Una funzione f (x) definita sull'insieme dei numeri reali è chiamata funzione di densità di probabilità della variabile casuale continua X, se e solo se, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx per qualsiasi costante reale aeb.
La funzione di densità di probabilità dovrebbe soddisfare anche le seguenti condizioni.
1. f (x) ≥ 0 per tutti x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Sia la funzione di distribuzione di probabilità che la funzione di densità di probabilità vengono utilizzate per rappresentare la distribuzione delle probabilità nello spazio campionario. Comunemente, queste sono chiamate distribuzioni di probabilità.
Per la modellazione statistica, vengono derivate le funzioni di densità di probabilità standard e le funzioni di distribuzione di probabilità. La distribuzione normale e la distribuzione normale standard sono esempi di distribuzioni di probabilità continue. La distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson sono esempi di distribuzioni di probabilità discrete.
Qual è la differenza tra la distribuzione di probabilità e la funzione di densità di probabilità?
• La funzione di distribuzione di probabilità e la funzione di densità di probabilità sono funzioni definite nello spazio campionario, per assegnare il valore di probabilità rilevante a ciascun elemento.
• Le funzioni di distribuzione di probabilità sono definite per le variabili casuali discrete mentre le funzioni di densità di probabilità sono definite per le variabili casuali continue.
• La distribuzione dei valori di probabilità (cioè le distribuzioni di probabilità) è rappresentata al meglio dalla funzione di densità di probabilità e dalla funzione di distribuzione di probabilità.
• La funzione di distribuzione di probabilità può essere rappresentata come valori in una tabella, ma ciò non è possibile per la funzione di densità di probabilità perché la variabile è continua.
• Quando viene tracciata, la funzione di distribuzione di probabilità fornisce un grafico a barre mentre la funzione di densità di probabilità fornisce una curva.
• L' altezza/lunghezza delle barre della funzione di distribuzione di probabilità deve sommarsi a 1 mentre l'area sotto la curva della funzione di densità di probabilità deve sommarsi a 1.
• In entrambi i casi, tutti i valori della funzione devono essere non negativi.
