Variabili casuali vs distribuzione di probabilità
Gli esperimenti statistici sono esperimenti casuali che possono essere ripetuti indefinitamente con un insieme noto di risultati. Sia le variabili casuali che le distribuzioni di probabilità sono associate a tali esperimenti. Per ogni variabile casuale, esiste una distribuzione di probabilità associata definita da una funzione chiamata funzione di distribuzione cumulativa.
Cos'è una variabile casuale?
Una variabile casuale è una funzione che assegna valori numerici ai risultati di un esperimento statistico. In altre parole, è una funzione definita dallo spazio campionario di un esperimento statistico nell'insieme dei numeri reali.
Ad esempio, considera un esperimento casuale di lanciare una moneta due volte. I possibili esiti sono HH, HT, TH e TT (H – teste, T – racconti). Sia la variabile X il numero di teste osservate nell'esperimento. Quindi, X può assumere i valori 0, 1 o 2 ed è una variabile casuale. Qui, la variabile casuale X mapperà l'insieme S={HH, HT, TH, TT} (lo spazio campionario) all'insieme {0, 1, 2} in modo tale che HH sia mappato su 2, HT e TH sono mappati su 1 e TT è mappato su 0. Nella notazione di funzione, questo può essere scritto come X: S → R dove X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 e X(TT)=0.
Ci sono due tipi di variabili casuali: discrete e continue, di conseguenza il numero di valori possibili che una variabile casuale può assumere è al massimo numerabile o meno. Nell'esempio precedente, la variabile casuale X è una variabile casuale discreta poiché {0, 1, 2} è un insieme finito. Consideriamo ora l'esperimento statistico di trovare i pesi degli studenti in una classe. Sia Y la variabile casuale definita come il peso di uno studente. Y può assumere qualsiasi valore reale entro un intervallo specifico. Quindi, Y è una variabile casuale continua.
Cos'è una distribuzione di probabilità?
La distribuzione di probabilità è una funzione che descrive la probabilità che una variabile casuale assuma determinati valori.
Una funzione chiamata funzione di distribuzione cumulativa (F) può essere definita dall'insieme dei numeri reali all'insieme dei numeri reali come F(x)=P(X ≤ x) (la probabilità che X sia minore di o uguale a x) per ogni possibile risultato x. Ora la funzione di distribuzione cumulativa di X nel primo esempio può essere scritta come F(a)=0, se a<0; F(a)=0,25, se 0≤a<1; F(a)=0,75, se 1≤a<2 e F(a)=1, se a≥2.
In caso di variabili casuali discrete, una funzione può essere definita dall'insieme dei possibili risultati all'insieme dei numeri reali in modo tale che ƒ(x)=P(X=x) (la probabilità di X essendo uguale a x) per ogni possibile risultato x. Questa particolare funzione ƒ è chiamata funzione di massa di probabilità della variabile casuale X. Ora la funzione di massa di probabilità di X nel primo esempio particolare può essere scritta come ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 e ƒ(x)=0 altrimenti. Pertanto, la funzione massa di probabilità insieme alla funzione di distribuzione cumulativa descriveranno la distribuzione di probabilità di X nel primo esempio.
Nel caso di variabili casuali continue, una funzione chiamata funzione di densità di probabilità (ƒ) può essere definita come ƒ(x)=dF(x)/dx per ogni x dove F è la funzione di distribuzione cumulativa del variabile casuale continua. È facile vedere che questa funzione soddisfa ∫ƒ(x)dx=1. La funzione di densità di probabilità insieme alla funzione di distribuzione cumulativa descrive la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua. Ad esempio, la distribuzione normale (che è una distribuzione di probabilità continua) è descritta utilizzando la funzione di densità di probabilità ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)).
Qual è la differenza tra variabili casuali e distribuzione di probabilità?
• La variabile casuale è una funzione che associa i valori di uno spazio campionario a un numero reale.
• La distribuzione di probabilità è una funzione che associa i valori che una variabile casuale può assumere alla rispettiva probabilità di occorrenza.
