Differenza tra Power Series e Taylor Series

2024 Autore: Alex Aldridge | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 13:42

Serie Power vs Serie Taylor

In matematica, una sequenza reale è un elenco ordinato di numeri reali. Formalmente, è una funzione dall'insieme dei numeri naturali all'insieme dei numeri reali. Se a_n è il termine n^th di una sequenza, indichiamo la sequenza con o con un ₁, a ₂, …, a_n, …. Ad esempio, considera la sequenza 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Può essere indicato come {1/n}.}

È possibile definire una serie utilizzando le sequenze. Una serie è la somma dei termini di una successione. Ad ogni sequenza, quindi, è associata una sequenza e viceversa. Se {a_{n} è la sequenza in esame, allora la serie formata da quella sequenza può essere rappresentata come:}

Quindi, nell'esempio sopra, la serie associata è 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Come suggeriscono i nomi, la serie di potenze è un tipo speciale di serie ed è ampiamente utilizzata nell'analisi numerica e nella relativa modellazione matematica. La serie Taylor è una serie di potenze speciali che fornisce un modo alternativo e facile da manipolare per rappresentare funzioni ben note.

Cos'è la serie Power?

Una serie di potenze è una serie della forma

che converge (possibilmente) per qualche intervallo centrato in c. I coefficienti a_{npossono essere numeri reali o complessi ed è indipendente da x; cioè la variabile fittizia.}

Ad esempio, impostando a_n=1 per ogni n e c=0, la serie di potenze 1+x+x² +…..+ x^{+… è ottenuto. È facile osservare che quando x ε (-1, 1), questa serie di potenze converge a 1/(1-x).}

Una serie di potenze converge quando x=c. Gli altri valori di x per i quali converge la serie di potenze assumeranno sempre la forma di un intervallo aperto centrato in c. Cioè, ci sarà un valore 0≤ R ≤ ∞ tale che per ogni x che soddisfa |x-c|≤ R, la serie di potenze è convergente e per ogni x che soddisfa |x-c|> R, la serie di potenze è divergente. Questo valore R è chiamato raggio di convergenza della serie di potenze (R può assumere qualsiasi valore reale o infinito positivo).

Le serie di potenze possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise usando le seguenti regole. Considera le due serie di potenze:

Allora,

cioè come i termini vengono sommati o sottratti insieme. Inoltre, è possibile moltiplicare e dividere le due serie di potenze utilizzando l'identità,

Cos'è la serie Taylor?

La serie Taylor è definita per una funzione f (x) che è infinitamente derivabile su un intervallo. Supponiamo che f (x) sia differenziabile su un intervallo centrato in c. Quindi la serie di potenze che è data da

è chiamata espansione in serie di Taylor della funzione f (x) su c. (Qui f⁽ⁿ⁾ (c) denota la n^{esima derivata in x=c). Nell'analisi numerica, un numero finito di termini in questa espansione infinita viene utilizzato per calcolare i valori nei punti in cui la serie converge alla funzione originale.}

Una funzione f (x) si dice analitica nell'intervallo (a, b), se per ogni x ε (a, b) la serie di Taylor di f (x) converge alla funzione f (X). Ad esempio, 1/(1-x) è analitico su (-1, 1), poiché la sua espansione di Taylor 1+x+x²+….+ x ^{+… converge alla funzione su quell'intervallo, e e}x ^{è analitica ovunque, poiché la serie di Taylor di e}x ^{converge a e} x ^{per ogni numero reale x.}

Qual è la differenza tra la serie Power e la serie Taylor?

1. La serie di Taylor è una classe speciale di serie di potenze definita solo per funzioni che sono infinitamente differenziabili su un intervallo aperto.

2. Le serie Taylor prendono la forma speciale

considerando che una serie di potenze può essere qualsiasi serie della forma