Laplace vs trasformazioni di Fourier
Sia la trasformata di Laplace che la trasformata di Fourier sono trasformate integrali, che sono più comunemente utilizzate come metodi matematici per risolvere sistemi fisici modellati matematicamente. Il processo è semplice. Un modello matematico complesso viene convertito in un modello più semplice e risolvibile utilizzando una trasformata integrale. Una volta risolto il modello più semplice, viene applicata la trasformata integrale inversa, che fornirebbe la soluzione al modello originale.
Ad esempio, poiché la maggior parte dei sistemi fisici risulta in equazioni differenziali, possono essere convertiti in equazioni algebriche o in equazioni differenziali di grado inferiore facilmente risolvibili utilizzando una trasformata integrale. Quindi risolvere il problema diventerà più facile.
Cos'è la trasformata di Laplace?
Data una funzione f (t) di una variabile reale t, la sua trasformata di Laplace è definita dall'integrale [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (quando esiste), che è una funzione di una variabile complessa s. Di solito è indicato con L {f (t)}. La trasformata inversa di Laplace di una funzione F (s) è considerata la funzione f (t) in modo tale che L { f (t)}=F (s), e nella consueta notazione matematica scriviamo L-1{ FA (s)}=fa (t). La trasformazione inversa può essere resa univoca se non sono consentite funzioni null. Si possono identificare questi due come operatori lineari definiti nello spazio delle funzioni, ed è anche facile vedere che, L -1{ L { f (t)}}=f (t), se le funzioni nulle non sono consentite.
La tabella seguente elenca le trasformate di Laplace di alcune delle funzioni più comuni.
Cos'è la trasformata di Fourier?
Data una funzione f (t) di una variabile reale t, la sua trasformata di Laplace è definita dall'integrale [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (quando esiste), e di solito è indicato con F { f (t)}. La trasformata inversa F -1{ F (α)} è data dall'integrale [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Anche la trasformata di Fourier è lineare e può essere considerata come un operatore definito nello spazio delle funzioni.
Usando la trasformata di Fourier, la funzione originale può essere scritta come segue a condizione che la funzione abbia solo un numero finito di discontinuità e sia assolutamente integrabile.
Qual è la differenza tra la Laplace e la trasformata di Fourier?
- La trasformata di Fourier di una funzione f (t) è definita come [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], mentre la sua trasformazione laplace è definita [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- La trasformata di Fourier è definita solo per funzioni definite per tutti i numeri reali, mentre la trasformata di Laplace non richiede che la funzione sia definita sull'insieme dei numeri reali negativi.
- La trasformata di Fourier è un caso speciale della trasformata di Laplace. Si può notare che entrambi coincidono per i numeri reali non negativi. (cioè prendi s in Laplace come iα + β dove α e β sono reali tali che e β=1/ √(2ᴫ))
- Ogni funzione che ha una trasformata di Fourier avrà una trasformata di Laplace ma non viceversa.
