Serie di Fourier vs Trasformazione di Fourier
La serie di Fourier scompone una funzione periodica in una somma di seni e coseni con frequenze e ampiezze diverse. La serie di Fourier è una branca dell'analisi di Fourier ed è stata introdotta da Joseph Fourier. La trasformata di Fourier è un'operazione matematica che rompe un segnale nelle sue frequenze costituenti. Il segnale originale che è cambiato nel tempo è chiamato rappresentazione nel dominio del tempo del segnale. La trasformata di Fourier è chiamata rappresentazione nel dominio della frequenza di un segnale poiché dipende dalla frequenza. Sia la rappresentazione nel dominio della frequenza di un segnale che il processo utilizzato per trasformare quel segnale nel dominio della frequenza sono indicati come trasformata di Fourier.
Cos'è la serie di Fourier?
Come accennato in precedenza, la serie di Fourier è un'espansione di una funzione periodica che utilizza la somma infinita di seno e coseno. La serie di Fourier è stata inizialmente sviluppata durante la risoluzione delle equazioni del calore, ma in seguito si è scoperto che la stessa tecnica può essere utilizzata per risolvere un ampio insieme di problemi matematici, in particolare i problemi che coinvolgono equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti. Ora, la serie Fourier ha applicazioni in un gran numero di campi tra cui l'ingegneria elettrica, l'analisi delle vibrazioni, l'acustica, l'ottica, l'elaborazione del segnale, l'elaborazione delle immagini, la meccanica quantistica e l'econometria. Le serie di Fourier utilizzano le relazioni di ortogonalità delle funzioni seno e coseno. Il calcolo e lo studio delle serie di Fourier è noto come analisi armonica ed è molto utile quando si lavora con funzioni periodiche arbitrarie, poiché consente di scomporre la funzione in termini semplici che possono essere utilizzati per ottenere una soluzione al problema originale.
Cos'è la trasformata di Fourier?
La trasformata di Fourier definisce una relazione tra un segnale nel dominio del tempo e la sua rappresentazione nel dominio della frequenza. La trasformata di Fourier scompone una funzione in funzioni oscillatorie. Poiché si tratta di una trasformazione, il segnale originale può essere ottenuto conoscendo la trasformazione, quindi nessuna informazione viene creata o persa nel processo. Lo studio delle serie di Fourier fornisce effettivamente la motivazione per la trasformata di Fourier. A causa delle proprietà di seno e coseno è possibile recuperare la quantità di ciascuna onda che contribuisce alla somma utilizzando un integrale. La trasformata di Fourier ha alcune proprietà di base come linearità, traslazione, modulazione, ridimensionamento, coniugazione, dualità e convoluzione. La trasformata di Fourier viene applicata nella risoluzione di equazioni differenziali poiché la trasformata di Fourier è strettamente correlata alla trasformazione di Laplace. La trasformata di Fourier è utilizzata anche nella risonanza magnetica nucleare (NMR) e in altri tipi di spettroscopia.
Differenza tra serie di Fourier e trasformata di Fourier
La serie di Fourier è un'espansione del segnale periodico come combinazione lineare di seno e coseno mentre la trasformata di Fourier è il processo o la funzione utilizzata per convertire i segnali dal dominio del tempo al dominio della frequenza. La serie di Fourier è definita per segnali periodici e la trasformata di Fourier può essere applicata a segnali aperiodici (che si verificano senza periodicità). Come accennato in precedenza, lo studio delle serie di Fourier fornisce effettivamente la motivazione per la trasformata di Fourier.
