Cardinale vs Ordinale
Nella nostra vita quotidiana, l'uso dei numeri può assumere forme diverse in situazioni diverse. Ad esempio, quando contiamo per determinare la dimensione di una raccolta di oggetti, li contiamo come uno, due, tre e così via. Quando vogliamo contare qualcosa per avere il senso della posizione degli oggetti, li contiamo come primo, secondo, terzo e così via. Nella prima forma di conteggio, i numeri sono detti numeri cardinali. Nella seconda forma di conteggio, i numeri sono considerati numeri ordinali. In questo contesto, i concetti cardinale e ordinale sono completamente una questione di linguistica; cardinale e ordinale sono aggettivi.
Tuttavia, l'estensione del concetto agli insiemi in matematica rivela una prospettiva molto più profonda e più ampia e non può essere trattata in termini semplici. In questo articolo cercheremo di comprendere i concetti fondamentali dei numeri cardinali e ordinali in matematica.
Le definizioni formali dei numeri cardinali e ordinali sono fornite nella teoria degli insiemi. Le definizioni sono complesse e per comprenderle in senso perfetto è necessaria una conoscenza di base nella teoria degli insiemi. Pertanto, ci volgeremo verso un paio di esempi, per comprendere i concetti euristicamente.
Considera i due set {1, 3, 6, 4, 5, 2} e {autobus, auto, traghetto, treno, aereo, elicottero}. Ogni insieme elenca un insieme di elementi, e se contiamo il numero di elementi è evidente che ognuno ha lo stesso numero di elementi, che è 6. Arrivati a questa conclusione abbiamo preso la dimensione di un insieme e confrontato con un altro usando un numero. Tale numero è chiamato numero cardinale. Pertanto, possiamo dire che un numero cardinale è un numero che possiamo usare per confrontare la dimensione degli insiemi finiti.
Anche la prima serie di numeri può essere organizzata in ordine crescente considerando le dimensioni di ciascun elemento e confrontandole. Nel processo di ordinazione, i numeri sono considerati cardinali. Allo stesso modo, l'insieme di tutti gli interi non negativi può essere ordinato in un insieme; cioè {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ma in questo caso, la dimensione dell'insieme diventa infinita e non è possibile darla in termini di ordinali. Non importa quanto grande sia il numero che scegli per dare la dimensione del set, ci saranno comunque numeri rimasti fuori dal set che scegli e che sono interi non negativi.
Pertanto, i matematici definiscono questo cardinale infinito (che è il primo) come Aleph-0, scritto come א (prima lettera dell'alfabeto ebraico). Formalmente il numero ordinale è il tipo di ordine di un insieme ben ordinato. Pertanto, il numero ordinale degli insiemi finiti può essere dato da numeri cardinali, ma per gli insiemi infiniti ordinale è dato da numeri transfiniti come Aleph-0.
Qual è la differenza tra i numeri cardinali e ordinali?
• Il numero cardinale è un numero che può essere usato per contare, o per dare la dimensione di un insieme ordinato finito. Tutti i numeri cardinali sono ordinali.
• I numeri ordinali sono numeri usati per dare la dimensione di insiemi ordinati sia finiti che infiniti. La dimensione degli insiemi ordinati finiti è data dai consueti numeri algebrici indù-arabi e la dimensione degli insiemi infiniti è data dai numeri transfiniti.
