Derivato vs Integrale
Differenziazione e integrazione sono due operazioni fondamentali nel calcolo. Hanno numerose applicazioni in diversi campi, come la matematica, l'ingegneria e la fisica. Sia la derivata che l'integrale discutono del comportamento di una funzione o del comportamento di un'entità fisica che ci interessa.
Cos'è il derivato?
Supponiamo che y=ƒ(x) e x0 sia nel dominio di ƒ. Allora limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx è chiamato il tasso di variazione istantaneo di ƒ a x0, a condizione che questo limite esista in modo finito. Questo limite è anche chiamato derivata di at ed è indicato con ƒ(x).
Il valore della derivata di una funzione f in un punto arbitrario x nel dominio della funzione è dato da limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Questo è indicato da una qualsiasi delle seguenti espressioni: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Per le funzioni con più variabili, definiamo la derivata parziale. La derivata parziale di una funzione con più variabili è la sua derivata rispetto a una di quelle variabili, assumendo che le altre variabili siano costanti. Il simbolo della derivata parziale è ∂.
Geometricamente la derivata di una funzione può essere interpretata come la pendenza della curva della funzione ƒ(x).
Cos'è l'integrale?
L'integrazione o anti-differenziazione è il processo inverso di differenziazione. In altre parole, è il processo per trovare una funzione originale quando viene data la derivata della funzione. Pertanto, un integrale o un'antiderivata di una funzione ƒ(x) se, ƒ(x)=F (x) può essere definito come la funzione F (x), per ogni x nel dominio di ƒ(x).
L'espressione ∫ƒ(x) dx denota la derivata della funzione ƒ(x). Se ƒ(x)=F (x), allora ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, dove C è una costante, ∫ƒ(x) dx è detto integrale indefinito di ƒ(x).
Per qualsiasi funzione ƒ, che non è necessariamente non negativa, e definita sull'intervallo [a, b], a∫b ƒ(x) dx è detto integrale definito ƒ su [a, b].
L'integrale definito a∫bƒ(x) dx di una funzione ƒ(x) può essere geometricamente interpretato come l'area della regione delimitata dalla curva ƒ(x), dall'asse x e dalle linee x=a e x=b.
Qual è la differenza tra derivato e integrale?
• Derivato è il risultato della differenziazione del processo, mentre integrale è il risultato dell'integrazione del processo.
• La derivata di una funzione rappresenta la pendenza della curva in un dato punto, mentre l'integrale rappresenta l'area sotto la curva.
