Derivato vs Differenziale
Nel calcolo differenziale, derivata e differenziale di una funzione sono strettamente correlati ma hanno significati molto diversi e sono usati per rappresentare due importanti oggetti matematici relativi a funzioni differenziabili.
Cos'è la derivata?
Derivato di una funzione misura la velocità con cui il valore della funzione cambia al variare del suo input. Nelle funzioni multivariabili, la modifica del valore della funzione dipende dalla direzione della modifica dei valori delle variabili indipendenti. Pertanto, in tali casi, viene scelta una direzione specifica e la funzione viene differenziata in quella particolare direzione. Quella derivata è chiamata derivata direzionale. Le derivate parziali sono un tipo speciale di derivate direzionali.
Derivata di una funzione a valori vettoriali f può essere definita come il limite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] ovunque esista in modo finito. Come accennato in precedenza, questo ci dà il tasso di aumento della funzione f lungo la direzione del vettore u. Nel caso di una funzione a valore singolo, questo si riduce alla ben nota definizione della derivata, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Ad esempio, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] è ovunque differenziabile e la derivata è uguale al limite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], che è uguale a [latex]3x^{2}+4[/latex]. Le derivate di funzioni come [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] esistono ovunque. Sono rispettivamente uguali alle funzioni [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Questa è conosciuta come la prima derivata. Solitamente la derivata prima della funzione f è indicata con f (1) Ora usando questa notazione, è possibile definire derivate di ordine superiore. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] è la derivata direzionale del secondo ordine e denota la n esima derivata con f (n) per ogni n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definisce la n th derivata.
Cos'è il differenziale?
Il differenziale di una funzione rappresenta il cambiamento nella funzione rispetto ai cambiamenti nella o nelle variabili indipendenti. Nella notazione usuale, per una data funzione f di una singola variabile x, il differenziale totale di ordine 1 df è dato da, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Ciò significa che per una variazione infinitesimale in x (cioè d x), ci sarà una variazione di f (1)(x)d x in f.
Usando i limiti si può arrivare a questa definizione come segue. Supponiamo che ∆ x sia la variazione di x in un punto arbitrario x e ∆ f sia la corrispondente variazione della funzione f. Si può dimostrare che ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, dove ϵ è l'errore. Ora, il limite ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (usando la definizione di derivata precedentemente indicata) e quindi, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Pertanto, è possibile concludere che, ∆ x→ 0 ϵ=0. Ora, denotando ∆ x→ 0 ∆ f come d f e ∆ x→ 0 ∆ x come d x si ottiene rigorosamente la definizione del differenziale.
Ad esempio, il differenziale della funzione [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] è [latex](3x^{2}+4)dx[/lattice].
Nel caso di funzioni di due o più variabili, il differenziale totale di una funzione è definito come la somma dei differenziali nelle direzioni di ciascuna delle variabili indipendenti. Matematicamente, può essere indicato come [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Qual è la differenza tra derivata e differenziale?
• Derivato si riferisce a un tasso di variazione di una funzione mentre il differenziale si riferisce al cambiamento effettivo della funzione, quando la variabile indipendente è soggetta a cambiamento.
• La derivata è data da [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], ma il differenziale è dato da [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
