Differenziazione vs Derivato
Nel calcolo differenziale, derivata e differenziazione sono strettamente correlate, ma molto diverse, e usate per rappresentare due importanti concetti matematici relativi alle funzioni.
Cos'è la derivata?
Derivato di una funzione misura la velocità con cui il valore della funzione cambia al variare del suo input. Nelle funzioni multivariabili, la modifica del valore della funzione dipende dalla direzione della modifica dei valori delle variabili indipendenti. Pertanto, in tali casi, viene scelta una direzione specifica e la funzione viene differenziata in quella particolare direzione. Quella derivata è chiamata derivata direzionale. Le derivate parziali sono un tipo speciale di derivate direzionali.
Derivata di una funzione a valori vettoriali f può essere definita come il limite [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] ovunque esista in modo finito. Come accennato in precedenza, questo ci dà il tasso di aumento della funzione f lungo la direzione del vettore u. Nel caso di una funzione a valore singolo, questo si riduce alla ben nota definizione della derivata, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Ad esempio, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] è ovunque differenziabile e la derivata è uguale al limite, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], che è uguale a [latex]3x^{2}+4[/latex]. Le derivate di funzioni come [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] esistono ovunque. Sono rispettivamente uguali alle funzioni [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Questa è conosciuta come la prima derivata. Solitamente la derivata prima della funzione f è indicata con f (1) Ora usando questa notazione, è possibile definire derivate di ordine superiore. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] è la derivata direzionale del secondo ordine e denota la n esima derivata con f (n) per ogni n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definisce la n th derivata.
Cos'è la differenziazione?
La differenziazione è il processo per trovare la derivata di una funzione derivabile. L'operatore D indicato con D rappresenta la differenziazione in alcuni contesti. Se x è la variabile indipendente, allora D ≡ d/dx. L'operatore D è un operatore lineare, cioè per due funzioni differenziabili f e g e costante c, valgono le seguenti proprietà.
I. Re (fa + sol)=RE (fa) + Re(sol)
II. D (cfr)=cD (f)
Utilizzando l'operatore D, le altre regole associate alla differenziazione possono essere espresse come segue. Re (fa g)=RE (fa) sol + fa RE (sol), RE (fa/ sol)=[RE (f) g – f RE (g)]/ g 2 e D (f o g)=(RE (fa) o g) Re(g).
Ad esempio, quando F(x)=x 2sin x è differenziato rispetto a x usando le regole date, la risposta sarà 2 x sin x + x2cos x.
Qual è la differenza tra differenziazione e derivata?• Derivato si riferisce a un tasso di variazione di una funzione • La differenziazione è il processo per trovare la derivata di una funzione. |
