Equazione della differenza rispetto all'equazione differenziale
Un fenomeno naturale può essere descritto matematicamente dalle funzioni di un numero di variabili e parametri indipendenti. Soprattutto quando sono espressi da una funzione della posizione spaziale e del tempo si ottengono equazioni. La funzione può cambiare con la modifica delle variabili indipendenti o dei parametri. Un cambiamento infinitesimale che si verifica nella funzione quando una delle sue variabili viene modificata è chiamato derivata di quella funzione.
Un'equazione differenziale è qualsiasi equazione che contiene le derivate di una funzione oltre alla funzione stessa. Una semplice equazione differenziale è quella della seconda legge del moto di Newton. Se un oggetto di massa m si muove con accelerazione 'a' e subisce l'azione di forza F, la seconda legge di Newton ci dice che F=ma. Anche in questo caso, 'a' varia nel tempo, possiamo riscrivere 'a' come; a=dv/dt; v è la velocità. La velocità è funzione dello spazio e del tempo, ovvero v=ds/dt; quindi 'a'=re2s/dt2
Tenendo a mente queste cose possiamo riscrivere la seconda legge di Newton come un'equazione differenziale;
'F' in funzione di v e t – F(v, t)=mdv/dt, o
'FA' in funzione di se t – FA(s, ds/dt, t)=m re2s/dt2
Ci sono due tipi di equazioni differenziali; equazione differenziale ordinaria, abbreviata con ODE o equazione differenziale parziale, abbreviata con PDE. L'equazione differenziale ordinaria conterrà derivate ordinarie (derivate di una sola variabile). L'equazione differenziale parziale conterrà derivate differenziali (derivate di più di una variabile).
es. F=m re2s/dt2 è un ODE, mentre α2 re 2u/dx2=du/dt è una PDE, ha derivati di t e x.
L'equazione della differenza è la stessa dell'equazione differenziale, ma la guardiamo in un contesto diverso. Nelle equazioni differenziali, la variabile indipendente come il tempo è considerata nel contesto del sistema a tempo continuo. Nel sistema a tempo discreto, chiamiamo la funzione come equazione differenziale.
L'equazione della differenza è una funzione delle differenze. Le differenze nelle variabili indipendenti sono di tre tipi; sequenza di numeri, sistema dinamico discreto e funzione iterata.
Nella sequenza di numeri la modifica viene generata ricorsivamente utilizzando una regola per mettere in relazione ogni numero nella sequenza con i numeri precedenti nella sequenza.
L'equazione della differenza in un sistema dinamico discreto prende un segnale di ingresso discreto e produce un segnale di uscita.
L'equazione della differenza è una mappa iterata per la funzione iterata. Ad esempio, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….è la sequenza di una funzione iterata. La f(y0) è la prima iterazione di y0 L'iterazione k-esima sarà indicata da fk (y0).
