Equazione lineare vs equazione quadratica
In matematica, le equazioni algebriche sono equazioni che si formano usando polinomi. Quando scritte in modo esplicito le equazioni saranno della forma P(x)=0, dove x è un vettore di n variabili incognite e P è un polinomio. Ad esempio, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 è un'equazione algebrica di due variabili scritte in modo esplicito. Inoltre, (x+y)3=3x2y – 3zy4 è un'equazione algebrica, ma in forma implicita. Prenderà la forma Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, una volta scritto in modo esplicito.
Una caratteristica importante di un'equazione algebrica è il suo grado. È definito come la potenza più alta dei termini che si verificano nell'equazione. Se un termine è composto da due o più variabili, la somma degli esponenti di ciascuna variabile sarà considerata la potenza del termine. Si osservi che secondo questa definizione P(x, y)=0 è di grado 4 mentre Q(x, y, z)=0 è di grado 5.
Le equazioni lineari e le equazioni quadratiche sono due diversi tipi di equazioni algebriche. Il grado dell'equazione è il fattore che le differenzia dal resto delle equazioni algebriche.
Cos'è un'equazione lineare?
Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1. Ad esempio, 4x + 5=0 è un'equazione lineare di una variabile. x + y + 5z=0 e 4x=3w + 5y + 7z sono equazioni lineari rispettivamente di 3 e 4 variabili. In generale, un'equazione lineare di n variabili assumerà la forma m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Qui, xi sono le variabili sconosciute, mi e b sono numeri reali dove ciascuno di mi è diverso da zero.
Tale equazione rappresenta un iperpiano nello spazio euclideo n-dimensionale. In particolare, un'equazione lineare a due variabili rappresenta una retta nel piano cartesiano e un'equazione lineare a tre variabili rappresenta un piano sul 3-spazio euclideo.
Cos'è un'equazione quadratica?
Un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica di secondo grado. x2 + 3x + 2=0 è una singola equazione quadratica variabile. x2 + y2 + 3x=4 e 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 sono esempi di equazioni quadratiche rispettivamente di 2 e 3 variabili.
Nel caso della singola variabile, la forma generale di un'equazione quadratica è ax2 + bx + c=0. Dove a, b, c sono numeri reali di cui 'a' è diverso da zero. Il discriminante ∆=(b2 – 4ac) determina la natura delle radici dell'equazione quadratica. Le radici dell'equazione saranno reali distinte, reali simili e complesse a seconda che ∆ sia positivo, zero e negativo. Le radici dell'equazione possono essere facilmente trovate usando la formula x=(- b ± √∆) / 2a.
Nel caso delle due variabili, la forma generale sarebbe ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, e rappresenta una conica (parabola, iperbole o ellisse) nel piano cartesiano. Nelle dimensioni superiori, questo tipo di equazioni rappresenta ipersuperfici note come quadriche.
Qual è la differenza tra equazioni lineari e quadratiche?
• Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1, mentre un'equazione quadratica è un'equazione algebrica di grado 2.
• Nello spazio euclideo n-dimensionale, lo spazio della soluzione di un'equazione lineare a n variabili è un iperpiano mentre quello di un'equazione quadratica a n variabili è una superficie quadrica.
