Differenza tra equazione lineare ed equazione quadratica

2025 Autore: Alex Aldridge | [email protected]. Ultima modifica: 2025-01-23 11:10

Equazione lineare vs equazione quadratica

In matematica, le equazioni algebriche sono equazioni che si formano usando polinomi. Quando scritte in modo esplicito le equazioni saranno della forma P(x)=0, dove x è un vettore di n variabili incognite e P è un polinomio. Ad esempio, P(x, y)=x⁴ + y³ + x²y + 5=0 è un'equazione algebrica di due variabili scritte in modo esplicito. Inoltre, (x+y)³=3x²y – 3zy⁴ è un'equazione algebrica, ma in forma implicita. Prenderà la forma Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy² +3zy^{4=0, una volta scritto in modo esplicito.}

Una caratteristica importante di un'equazione algebrica è il suo grado. È definito come la potenza più alta dei termini che si verificano nell'equazione. Se un termine è composto da due o più variabili, la somma degli esponenti di ciascuna variabile sarà considerata la potenza del termine. Si osservi che secondo questa definizione P(x, y)=0 è di grado 4 mentre Q(x, y, z)=0 è di grado 5.

Le equazioni lineari e le equazioni quadratiche sono due diversi tipi di equazioni algebriche. Il grado dell'equazione è il fattore che le differenzia dal resto delle equazioni algebriche.

Cos'è un'equazione lineare?

Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1. Ad esempio, 4x + 5=0 è un'equazione lineare di una variabile. x + y + 5z=0 e 4x=3w + 5y + 7z sono equazioni lineari rispettivamente di 3 e 4 variabili. In generale, un'equazione lineare di n variabili assumerà la forma m₁x₁+m 2_x2_{+…+ m}n-1_{x n-1}+ m_nx_n =b. Qui, x_i sono le variabili sconosciute, m_i e b sono numeri reali dove ciascuno di m_i è diverso da zero.

Tale equazione rappresenta un iperpiano nello spazio euclideo n-dimensionale. In particolare, un'equazione lineare a due variabili rappresenta una retta nel piano cartesiano e un'equazione lineare a tre variabili rappresenta un piano sul 3-spazio euclideo.

Cos'è un'equazione quadratica?

Un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica di secondo grado. x² + 3x + 2=0 è una singola equazione quadratica variabile. x² + y² + 3x=4 e 4x² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 sono esempi di equazioni quadratiche rispettivamente di 2 e 3 variabili.}

Nel caso della singola variabile, la forma generale di un'equazione quadratica è ax² + bx + c=0. Dove a, b, c sono numeri reali di cui 'a' è diverso da zero. Il discriminante ∆=(b^{2 – 4ac) determina la natura delle radici dell'equazione quadratica. Le radici dell'equazione saranno reali distinte, reali simili e complesse a seconda che ∆ sia positivo, zero e negativo. Le radici dell'equazione possono essere facilmente trovate usando la formula x=(- b ± √∆) / 2a.}

Nel caso delle due variabili, la forma generale sarebbe ax² + by^{2 + cxy + dx + ex + f=0, e rappresenta una conica (parabola, iperbole o ellisse) nel piano cartesiano. Nelle dimensioni superiori, questo tipo di equazioni rappresenta ipersuperfici note come quadriche.}

Qual è la differenza tra equazioni lineari e quadratiche?

• Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1, mentre un'equazione quadratica è un'equazione algebrica di grado 2.

• Nello spazio euclideo n-dimensionale, lo spazio della soluzione di un'equazione lineare a n variabili è un iperpiano mentre quello di un'equazione quadratica a n variabili è una superficie quadrica.