Equazione lineare vs equazione non lineare
In matematica, le equazioni algebriche sono equazioni che si formano usando polinomi. Quando scritte in modo esplicito le equazioni saranno della forma P(x)=0, dove x è un vettore di n variabili incognite e P è un polinomio. Ad esempio, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 è un'equazione algebrica in due variabili scritte in modo esplicito. Inoltre, (x+y)3 =3x2y – 3zy4 è un'equazione algebrica, ma in forma implicita e assumerà la forma Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, una volta scritto esplicitamente.
Una caratteristica importante di un'equazione algebrica è il suo grado. È definito come la potenza più alta dei termini che si verificano nell'equazione. Se un termine è composto da due o più variabili, la somma degli esponenti di ciascuna variabile sarà considerata la potenza del termine. Si osservi che secondo questa definizione P(x, y)=0 è di grado 5, mentre Q(x, y, z)=0 è di grado 5.
Le equazioni lineari e le equazioni non lineari sono due partizioni definite sull'insieme delle equazioni algebriche. Il grado dell'equazione è il fattore che li differenzia l'uno dall' altro.
Cos'è un'equazione lineare?
Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1. Ad esempio, 4x + 5=0 è un'equazione lineare di una variabile. x + y + 5z=0 e 4x=3w + 5y + 7z sono equazioni lineari rispettivamente di 3 e 4 variabili. In generale, un'equazione lineare di n variabili assume la forma m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Qui, xi sono le variabili sconosciute, mi e b sono numeri reali dove ciascuno di mi è diverso da zero.
Tale equazione rappresenta un iperpiano nello spazio euclideo n-dimensionale. In particolare, un'equazione lineare a due variabili rappresenta una retta nel piano cartesiano e un'equazione lineare a tre variabili rappresenta un piano sul 3-spazio euclideo.
Cos'è un'equazione non lineare?
Un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica, che non è lineare. In altre parole, un'equazione non lineare è un'equazione algebrica di grado 2 o superiore. x2 + 3x + 2=0 è un'equazione non lineare a singola variabile. x2 + y3+ 3xy=4 e 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 sono esempi di equazioni non lineari rispettivamente di 3 e 4 variabili.
Un'equazione non lineare di secondo grado è chiamata equazione quadratica. Se il grado è 3, allora si chiama equazione cubica. Le equazioni di grado 4 e di grado 5 sono chiamate rispettivamente equazioni quartiche e quintiche. È stato dimostrato che non esiste un metodo analitico per risolvere qualsiasi equazione non lineare di grado 5, e questo vale anche per qualsiasi grado superiore. Le equazioni non lineari risolvibili rappresentano ipersuperfici che non sono iperpiani.
Qual è la differenza tra equazione lineare ed equazione non lineare?
• Un'equazione lineare è un'equazione algebrica di grado 1, ma un'equazione non lineare è un'equazione algebrica di grado 2 o superiore.
• Anche se qualsiasi equazione lineare è risolvibile analiticamente, non è il caso delle equazioni non lineari.
• Nello spazio euclideo n-dimensionale, lo spazio della soluzione di un'equazione lineare a n variabili è un iperpiano, mentre quello di un'equazione non lineare a n variabili è un'ipersuperficie, che non è un iperpiano. (Quadriche, superfici cubiche e così via)
