Funzione discreta vs funzione continua
Le funzioni sono una delle classi più importanti di oggetti matematici, ampiamente utilizzati in quasi tutti i sottocampi della matematica. Come suggeriscono i loro nomi, sia le funzioni discrete che le funzioni continue sono due tipi speciali di funzioni.
Una funzione è una relazione tra due insiemi definiti in modo tale che per ogni elemento del primo insieme, il valore che gli corrisponde nel secondo insieme sia unico. Sia f una funzione definita dall'insieme A nell'insieme B. Quindi per ogni x ϵ A, il simbolo f (x) denota il valore unico nell'insieme B che corrisponde a x. Si chiama immagine di x sotto f. Pertanto, una relazione f da A a B è una funzione, se e solo se per, ogni xϵ A e y ϵ A; se x=y allora f (x)=f (y). L'insieme A è chiamato dominio della funzione f, ed è l'insieme in cui è definita la funzione.
Ad esempio, considera la relazione f da R in R definita da f (x)=x + 2 per ogni xϵ A. Questa è una funzione il cui dominio è R, poiché per ogni numero reale xey, x=y implica f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Ma la relazione g da N in N definita da g (x)=a, dove 'a' è un fattore primo di x non è una funzione in quanto g (6)=3, così come g (6)=2.
Cos'è una funzione discreta?
Una funzione discreta è una funzione il cui dominio è al massimo numerabile. Semplicemente, questo significa che è possibile fare una lista che includa tutti gli elementi del dominio.
Qualsiasi insieme finito è al massimo numerabile. L'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri razionali sono esempi di insiemi infiniti al massimo numerabili. L'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri irrazionali non sono al massimo numerabili. Entrambi i set sono innumerevoli. Significa che è impossibile fare una lista che includa tutti gli elementi di quei set.
Una delle funzioni discrete più comuni è la funzione fattoriale. f:N U{0}→N definita ricorsivamente da f (n)=n f (n-1) per ogni n ≥ 1 e f (0)=1 è chiamata funzione fattoriale. Osserva che il suo dominio N U{0} è al massimo numerabile.
Cos'è una funzione continua?
Sia f una funzione tale che per ogni k nel dominio di f, f (x)→ f (k) come x → k. Allora f è una funzione continua. Ciò significa che è possibile rendere f (x) arbitrariamente vicino a f (k) rendendo x sufficientemente vicino a k per ogni k nel dominio di f.
Considera la funzione f (x)=x + 2 su R. Si può vedere che come x → k, x + 2 → k + 2 cioè f (x)→ f (k). Pertanto, f è una funzione continua. Consideriamo ora g su numeri reali positivi g (x)=1 se x > 0 e g (x)=0 se x=0. Allora, questa funzione non è una funzione continua in quanto il limite di g (x) non esiste (e quindi non è uguale a g (0)) come x → 0.
Qual è la differenza tra funzione discreta e continua?
• Una funzione discreta è una funzione il cui dominio è al massimo numerabile, ma non è necessario che sia il caso delle funzioni continue.
• Tutte le funzioni continue ƒ hanno la proprietà che ƒ(x)→ƒ(k) come x → k per ogni x e per ogni k nel dominio di ƒ, ma non è il caso di alcune funzioni discrete.
