Differenza tra sequenza aritmetica e sequenza geometrica

2024 Autore: Alex Aldridge | [email protected]. Ultima modifica: 2024-01-17 23:37

Sequenza aritmetica vs sequenza geometrica

Lo studio degli schemi numerici e del loro comportamento è uno studio importante nel campo della matematica. Spesso questi schemi possono essere visti in natura e ci aiutano a spiegare il loro comportamento da un punto di vista scientifico. Le sequenze aritmetiche e le sequenze geometriche sono due degli schemi di base che si verificano nei numeri e spesso si trovano nei fenomeni naturali.

La sequenza è un insieme di numeri ordinati. Il numero di elementi nella sequenza può essere finito o infinito.

Ulteriori informazioni sulla sequenza aritmetica (progressione aritmetica)

Una sequenza aritmetica è definita come una sequenza di numeri con una differenza costante tra ogni termine consecutivo. È anche noto come progressione aritmetica.

Sequenza aritmetica ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; dove a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, e così via.}

Se il termine iniziale è a₁ e la differenza comune è d, il termine n^{esimo della sequenza è dato da;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Prendendo ulteriormente il risultato sopra, il termine n^{th può essere dato anche come;}

a_n =a_m + (n-m)d, dove a_{m è un termine casuale nella sequenza tale che n > m.}

L'insieme dei numeri pari e l'insieme dei numeri dispari sono gli esempi più semplici di sequenze aritmetiche, in cui ogni sequenza ha una differenza comune (d) di 2.

Il numero di termini in una sequenza può essere infinito o finito. Nel caso infinito (n → ∞), la successione tende all'infinito a seconda della differenza comune (a_{n → ±∞). Se la differenza comune è positiva (d > 0), la successione tende all'infinito positivo e, se la differenza comune è negativa (d < 0), tende all'infinito negativo. Se i termini sono finiti, anche la sequenza è finita.}

La somma dei termini nella sequenza aritmetica è nota come serie aritmetica: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{e S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] fornisce il valore di serie (S}n)

Ulteriori informazioni sulla sequenza geometrica (progressione geometrica)

Una sequenza geometrica è definita come una sequenza in cui il quoziente di due termini consecutivi qualsiasi è una costante. Questo è anche noto come progressione geometrica.

Sequenza geometrica ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; dove a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, e così via, dove r è un numero reale.}

È più facile rappresentare la sequenza geometrica usando il rapporto comune (r) e il termine iniziale (a). Da qui la sequenza geometrica ⇒ a₁, a₁r, a_1r2, a¹r₃, …, a¹r_n-1.

La forma generale dei n^th termini dati da a_n =a₁r ^n-1. (Perdere il pedice del termine iniziale ⇒ a_n =ar^n-1)

La sequenza geometrica può anche essere finita o infinita. Se il numero di termini è finito, la successione si dice finita. E se i termini sono infiniti, la successione può essere infinita o finita a seconda del rapporto r. Il rapporto comune influenza molte delle proprietà nelle sequenze geometriche.

r > o	0 < r < +1	La sequenza converge – decadimento esponenziale, cioè an → 0, n → ∞
	r=1	Sequenza costante, ovvero an=costante
	r > 1	La sequenza diverge – crescita esponenziale, cioè an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	La sequenza oscilla, ma converge
	r=1	La sequenza è alternata e costante, ovvero an=±costante
	r < -1	La sequenza è alternata e divergente. cioè an → ±∞, n → ∞
r=0	La sequenza è una stringa di zeri

NB: In tutti i casi precedenti, a₁ > 0; se a₁ < 0, i segni relativi a a_{n saranno invertiti.}

L'intervallo di tempo tra i rimbalzi di una palla segue una sequenza geometrica nel modello ideale, ed è una sequenza convergente.

La somma dei termini della sequenza geometrica è nota come serie geometrica; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. La somma delle serie geometriche può essere calcolata utilizzando la seguente formula.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); dove a è il termine iniziale e r è il rapporto.}

Se il rapporto, r ≤ 1, la serie converge. Per una serie infinita, il valore di convergenza è dato da S_n=a/(1-r)

Qual è la differenza tra sequenza/progressione aritmetica e geometrica?

• In una sequenza aritmetica, due termini consecutivi qualsiasi hanno una differenza comune (d) mentre, in sequenza geometrica, due termini consecutivi qualsiasi hanno un quoziente costante (r).

• In una sequenza aritmetica, la variazione dei termini è lineare, cioè si può tracciare una retta passante per tutti i punti. In una serie geometrica, la variazione è esponenziale; in crescita o in decomposizione in base al rapporto comune.

• Tutte le sequenze aritmetiche infinite sono divergenti, mentre le serie geometriche infinite possono essere divergenti o convergenti.

• La serie geometrica può mostrare oscillazione se il rapporto r è negativo mentre la serie aritmetica non visualizza oscillazione