Integrali definiti e indefiniti
Il calcolo è una branca importante della matematica e la differenziazione gioca un ruolo fondamentale nel calcolo. Il processo inverso della differenziazione è noto come integrazione e l'inverso è noto come integrale, o semplicemente, l'inverso della differenziazione dà un integrale. In base ai risultati che producono gli integrali sono divisi in due classi; integrali definiti e indefiniti.
Ulteriori informazioni sugli Integrali Indefiniti
L'integrale indefinito è più una forma generale di integrazione e può essere interpretato come l'antiderivata della funzione considerata. Supponiamo che la differenziazione di F dia f e l'integrazione di f dia l'integrale. È spesso scritto come F(x)=∫ƒ(x)dx o F=∫ƒ dx dove sia F che ƒ sono funzioni di x e F è differenziabile. Nella forma precedente, è chiamato integrale di Reimann e la funzione risultante accompagna una costante arbitraria. Un integrale indefinito produce spesso una famiglia di funzioni; quindi l'integrale è indefinito.
Gli integrali e il processo di integrazione sono al centro della risoluzione delle equazioni differenziali. Tuttavia, a differenza della differenziazione, l'integrazione non segue sempre una routine chiara e standard; a volte, la soluzione non può essere espressa esplicitamente in termini di funzione elementare. In tal caso, la soluzione analitica è spesso data sotto forma di integrale indefinito.
Ulteriori informazioni sugli Integrali Definiti
Gli integrali definiti sono le controparti molto apprezzate degli integrali indefiniti in cui il processo di integrazione produce effettivamente un numero finito. Può essere definita graficamente come l'area delimitata dalla curva della funzione ƒ entro un dato intervallo. Ogni volta che l'integrazione viene eseguita entro un dato intervallo della variabile indipendente, l'integrazione produce un valore definito che viene spesso scritto come a∫bƒ(x) dx o a∫b ƒdx.
Gli integrali indefiniti e gli integrali definiti sono interconnessi attraverso il primo teorema fondamentale del calcolo, e questo permette di calcolare l'integrale definito usando gli integrali indefiniti. Il teorema afferma a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) dove sia F che ƒ sono funzioni di x, e F è differenziabile nell'intervallo (a, b). Considerando l'intervallo, aeb sono noti rispettivamente come limite inferiore e limite superiore.
Invece di fermarsi solo con funzioni reali, l'integrazione può essere estesa a funzioni complesse e quegli integrali sono chiamati integrali di contorno, dove ƒ è una funzione della variabile complessa.
Qual è la differenza tra Integrali Definiti e Integrali Indefiniti?
Gli integrali indefiniti rappresentano l'antiderivata di una funzione e, spesso, una famiglia di funzioni piuttosto che una soluzione definita. Negli integrali definiti, l'integrazione fornisce un numero finito.
Gli integrali indefiniti associano una variabile arbitraria (da cui la famiglia di funzioni) e gli integrali definiti non hanno una costante arbitraria, ma un limite superiore e un limite inferiore di integrazione.
L'integrale indefinito di solito fornisce una soluzione generale all'equazione differenziale.
