Logaritmico vs Esponenziale | Funzione esponenziale vs funzione logaritmica
Le funzioni sono una delle classi più importanti di oggetti matematici, ampiamente utilizzata in quasi tutti i sottocampi della matematica. Come suggeriscono i loro nomi, sia la funzione esponenziale che la funzione logaritmica sono due funzioni speciali.
Una funzione è una relazione tra due insiemi definiti in modo tale che per ogni elemento del primo insieme, il valore che gli corrisponde nel secondo insieme, sia unico. Sia ƒ una funzione definita dall'insieme A nell'insieme B. Quindi per ogni x ϵ A, il simbolo ƒ(x) denota il valore unico nell'insieme B che corrisponde a x. Si chiama immagine di x sotto ƒ. Pertanto, una relazione ƒ da A a B è una funzione, se e solo se, per ogni x ϵ A e y ϵ A, se x=y allora ƒ(x)=ƒ(y). L'insieme A è chiamato dominio della funzione ƒ, ed è l'insieme in cui è definita la funzione.
Cos'è la funzione esponenziale?
La funzione esponenziale è la funzione data da ƒ(x)=ex, dove e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) ed è un numero irrazionale trascendentale. Una delle specialità della funzione è che la derivata della funzione è uguale a se stessa; cioè quando y=ex, dy/dx=ex Inoltre, la funzione è una funzione crescente continua ovunque avente l'asse x come asintoto. Pertanto, anche la funzione è uno a uno. Per ogni x ϵ R, abbiamo che ex> 0, e si può dimostrare che è su R + Inoltre, segue l'identità di base ex+y=exey e e0 =1. La funzione può anche essere rappresentata utilizzando l'espansione in serie data da 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Cos'è la funzione logaritmica?
La funzione logaritmica è l'inversa della funzione esponenziale. Poiché la funzione esponenziale è uno a uno e su R +, una funzione g può essere definita dall'insieme di numeri reali positivi nell'insieme di numeri reali dato da g(y)=x, se e solo se, y=ex Questa funzione g è chiamata funzione logaritmica o più comunemente logaritmo naturale. È indicato con g(x)=log ex=ln x. Poiché è l'inverso della funzione esponenziale, se prendiamo la riflessione del grafico della funzione esponenziale sulla retta y=x, allora avremo il grafico della funzione logaritmica. Pertanto, la funzione è asintotica rispetto all'asse y.
La funzione logaritmica segue alcune regole di base di cui ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y e ln xy=y ln x sono le più importanti. Anche questa è una funzione crescente, ed è continua ovunque. Pertanto, è anche uno a uno. Si può dimostrare che è su R.
Qual è la differenza tra funzione esponenziale e funzione logaritmica?
• La funzione esponenziale è data da ƒ(x)=ex, mentre la funzione logaritmica è data da g(x)=ln x, ed ex è l'inversa della quest'ultimo.
• Il dominio della funzione esponenziale è un insieme di numeri reali, ma il dominio della funzione logaritmica è un insieme di numeri reali positivi.
• L'intervallo della funzione esponenziale è un insieme di numeri reali positivi, ma l'intervallo della funzione logaritmica è un insieme di numeri reali.
