Distribuzione binomiale vs normale
Le distribuzioni di probabilità di variabili casuali svolgono un ruolo importante nel campo della statistica. Di queste distribuzioni di probabilità, la distribuzione binomiale e la distribuzione normale sono due delle più comuni nella vita reale.
Cos'è la distribuzione binomiale?
La distribuzione binomiale è la distribuzione di probabilità corrispondente alla variabile casuale X, che è il numero di successi di una sequenza finita di esperimenti sì/no indipendenti ciascuno dei quali ha una probabilità di successo p. Dalla definizione di X risulta evidente che si tratta di una variabile casuale discreta; pertanto, anche la distribuzione binomiale è discreta.
La distribuzione è indicata come X ~ B (n, p) dove n è il numero di esperimenti e p è la probabilità di successo. Secondo la teoria della probabilità, possiamo dedurre che B (n, p) segue la funzione di massa di probabilità [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Da questa equazione si può inoltre dedurre che il valore atteso di X, E(X)=np e la varianza di X, V(X)=np (1- p).
Ad esempio, considera un esperimento casuale di lancio di una moneta 3 volte. Definisci il successo come ottenere H, il fallimento come ottenere T e la variabile casuale X come il numero di successi nell'esperimento. Quindi X ~ B (3, 0,5) e la funzione massa di probabilità di X data da [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Pertanto, la probabilità di ottenere almeno 2 H è P(X ≥ 2)=P (X=2 o X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3 C2(0.52)(0.51) + 3 C3(0.53)(0.50)=0.375 + 0.125=0.5.
Cos'è la distribuzione normale?
La distribuzione normale è la distribuzione di probabilità continua definita dalla funzione di densità di probabilità, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. I parametri [latex] \mu e \\sigma [/latex] denotano la media e la deviazione standard della popolazione di interesse. Quando [latex] \mu=0 e \\sigma=1 [/latex] la distribuzione è chiamata distribuzione normale standard.
Questa distribuzione è chiamata normale poiché la maggior parte dei fenomeni naturali segue la distribuzione normale. Ad esempio, il QI della popolazione umana è normalmente distribuito. Come si vede dal grafico è unimodale, simmetrico rispetto alla media ea forma di campana. La media, la moda e la mediana coincidono. L'area sotto la curva corrisponde alla porzione di popolazione che soddisfa una determinata condizione.
Le porzioni di popolazione nell'intervallo [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] sono circa 68,2%, 95,6% e 99,8% rispettivamente.
Qual è la differenza tra la distribuzione binomiale e quella normale?
- La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta mentre la distribuzione normale è continua.
- La funzione di massa di probabilità della distribuzione binomiale è [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], mentre la funzione di densità di probabilità della distribuzione normale è [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
- La distribuzione binomiale è approssimata alla distribuzione normale in determinate condizioni ma non viceversa.
