Serie aritmetica vs geometrica
La definizione matematica di una serie è strettamente correlata alle sequenze. Una sequenza è un insieme ordinato di numeri e può essere un insieme finito o infinito. Una sequenza di numeri in cui la differenza tra due elementi è una costante è nota come progressione aritmetica. Una successione con un quoziente costante di due numeri successivi è nota come progressione geometrica. Queste progressioni possono essere finite o infinite e, se finite, il numero di termini è numerabile, altrimenti non numerabile.
Generalmente, la somma degli elementi in una progressione può essere definita come una serie. La somma di una progressione aritmetica è nota come serie aritmetica. Allo stesso modo, la somma di una progressione geometrica è nota come serie geometrica.
Ulteriori informazioni sulle serie aritmetiche
In una serie aritmetica, i termini successivi hanno una differenza costante.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; dove a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, e così via.
Questa differenza d è nota come differenza comune e il termine nth è dato da an =a 1+ (n-1)d; dove a1 è il primo termine.
Il comportamento della serie cambia in base alla differenza comune d. Se la differenza comune è positiva la progressione tende ad essere infinito positivo, e se la differenza comune è negativa tende all'infinito negativo.
La somma delle serie può essere ottenuta con la seguente semplice formula, sviluppata per la prima volta dall'astronomo e matematico indiano Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
La somma Sn può essere finita o infinita, in base al numero di termini.
Ulteriori informazioni sulle serie geometriche
Una serie geometrica è una serie con il quoziente dei numeri successivi costante. È una serie importante trovata nello studio della serie, per le proprietà che possiede.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
In base al rapporto r, il comportamento della serie può essere classificato come segue. r={|r|≥1 serie diverge; r≤1 serie converge}. Inoltre, se r<0 la serie oscilla, cioè la serie ha valori alternati.
La somma delle serie geometriche può essere calcolata utilizzando la seguente formula. Sn =a(1-r) / (1-r); dove a è il termine iniziale e r è il rapporto. Se il rapporto r≤1, la serie converge. Per una serie infinita, il valore di convergenza è dato da Sn=a / (1-r).
La serie geometrica ha numerose applicazioni nei campi delle scienze fisiche, dell'ingegneria e dell'economia
Qual è la differenza tra le serie aritmetiche e geometriche?
• Una serie aritmetica è una serie con una differenza costante tra due termini adiacenti.
• Una serie geometrica è una serie con un quoziente costante tra due termini successivi.
• Tutte le serie aritmetiche infinite sono sempre divergenti, ma a seconda del rapporto, le serie geometriche possono essere convergenti o divergenti.
• Le serie geometriche possono avere oscillazioni nei valori; cioè i numeri cambiano i loro segni alternativamente, ma le serie aritmetiche non possono avere oscillazioni.
