Differenza tra integrazione e somma

2024 Autore: Alex Aldridge | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-17 13:42

Integrazione vs somma

Al di sopra della matematica delle scuole superiori, l'integrazione e la somma si trovano spesso nelle operazioni matematiche. Apparentemente sono usati come strumenti diversi e in situazioni diverse, ma condividono una relazione molto stretta.

Ulteriori informazioni sulla somma

La somma è l'operazione di somma di una sequenza di numeri e l'operazione è spesso indicata dalla lettera greca maiuscola sigma Σ. Viene utilizzato per abbreviare la sommatoria ed è uguale alla somma/totale della sequenza. Sono spesso usati per rappresentare le serie, che essenzialmente sono infinite sequenze riassunte. Possono anche essere usati per indicare la somma di vettori, matrici o polinomi.

La somma viene solitamente eseguita per un intervallo di valori che può essere rappresentato da un termine generale, come una serie che ha un termine comune. Il punto iniziale e il punto finale della sommatoria sono noti rispettivamente come limite inferiore e limite superiore della sommatoria.

Ad esempio, la somma della sequenza a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n è a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n che può essere facilmente rappresentato usando la notazione di sommatoria come ∑ _i=1 a_{i; i è chiamato indice della sommatoria.}

Molte variazioni vengono utilizzate per la somma in base all'applicazione. In alcuni casi, il limite superiore e il limite inferiore possono essere dati come un intervallo o un intervallo, ad esempio ∑_1≤i≤100 a_i e ∑_{i∈[1, 100]} a_i Oppure può essere dato come un insieme di numeri come ∑_i∈P a_{i, dove P è un insieme definito.}

In alcuni casi si possono usare due o più segni sigma, ma possono essere generalizzati come segue; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Inoltre, la somma segue molte regole algebriche. Poiché l'operazione incorporata è l'addizione, molte delle regole comuni dell'algebra possono essere applicate alle somme stesse e per i singoli termini rappresentati dalla sommatoria.

Ulteriori informazioni sull'integrazione

L'integrazione è definita come il processo inverso di differenziazione. Ma nella sua vista geometrica può essere considerata anche come l'area racchiusa dalla curva della funzione e dell'asse. Pertanto, il calcolo dell'area fornisce il valore di un integrale definito come mostrato nel diagramma.

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Il valore dell'integrale definito è in re altà la somma delle striscette all'interno della curva e dell'asse. L'area di ciascuna striscia è l' altezza×larghezza nel punto sull'asse considerato. La larghezza è un valore che possiamo scegliere, diciamo ∆x. E l' altezza è approssimativamente il valore della funzione nel punto considerato, diciamo f (x_{i). Dal diagramma, è evidente che più piccole sono le strisce, meglio le strisce si adattano all'interno dell'area delimitata, quindi una migliore approssimazione del valore.}

Quindi, in generale l'integrale definito I, tra i punti aeb (cioè nell'intervallo [a, b] dove a<b), può essere dato come I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, dove n è il numero di strisce (n=(b-a)/∆x). Questa somma dell'area può essere facilmente rappresentata usando la notazione di somma come I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Poiché l'approssimazione è migliore quando ∆x è minore, possiamo calcolare il valore quando ∆x→0. Pertanto, è ragionevole dire I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Come generalizzazione del concetto sopra, possiamo scegliere ∆x in base all'intervallo considerato indicizzato da i (scegliendo la larghezza dell'area in base alla posizione). Quindi otteniamo

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Questo è noto come Integrale di Reimann della funzione f (x) nell'intervallo [a, b]. In questo caso aeb sono noti come limite superiore e limite inferiore dell'integrale. L'integrale di Reimann è una forma base di tutti i metodi di integrazione.

In sostanza, l'integrazione è la somma dell'area quando la larghezza del rettangolo è infinitesima.

Qual è la differenza tra integrazione e somma?

• La somma è la somma di una sequenza di numeri. Di solito, la somma è data in questa forma ∑_i=1 a_{i quando i termini nella sequenza hanno uno schema e possono essere espressi usando un termine generale.}

• L'integrazione è fondamentalmente l'area delimitata dalla curva della funzione, dall'asse e dai limiti superiore e inferiore. Quest'area può essere data come somma di aree molto più piccole incluse nell'area delimitata.

• La somma coinvolge i valori discreti con i limiti superiore e inferiore, mentre l'integrazione coinvolge i valori continui.

• L'integrazione può essere interpretata come una forma speciale di sommatoria.

• Nei metodi di calcolo numerico, l'integrazione viene sempre eseguita come sommatoria.