Eventi reciprocamente esclusivi e indipendenti
Le persone spesso confondono il concetto di eventi che si escludono a vicenda con eventi indipendenti. In effetti, queste sono due cose diverse.
Siano A e B due eventi qualsiasi associati a un esperimento casuale E. P(A) è chiamato “Probabilità di A”. Allo stesso modo, possiamo definire la probabilità di B come P(B), la probabilità di A o B come P(A∪B) e la probabilità di A e B come P(A∩B). Allora, P(LA∪B)=P(LA)+ P(B)-P(LA∩B).
Tuttavia, due eventi detti si escludono a vicenda se il verificarsi di un evento non influisce sull' altro. In altre parole, non possono verificarsi simultaneamente. Pertanto, se due eventi A e B si escludono a vicenda, allora A∩B=∅ e quindi, ciò implica P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Siano A e B due eventi in uno spazio campionario S. La probabilità condizionata di A, dato che si è verificato B, è indicata con P(A | B) ed è definita come; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), fornito P(B)>0. (altrimenti, non è definito.)
Un evento A si dice indipendente da un evento B, se la probabilità che si verifichi A non è influenzata dal fatto che B si sia verificato o meno. In altre parole, l'esito dell'evento B non ha effetto sull'esito dell'evento A. Pertanto, P(A | B)=P(A). Allo stesso modo, B è indipendente da A se P(B)=P(B | A). Quindi, possiamo concludere che se A e B sono eventi indipendenti, allora P(A∩B)=P(A). P(B)
Supponiamo che venga lanciato un cubo numerato e che venga lanciata una moneta giusta. Sia A l'evento che ottiene una testa e B l'evento che ottiene un numero pari. Quindi possiamo concludere che gli eventi A e B sono indipendenti, perché l'esito dell'uno non influisce sull'esito dell' altro. Pertanto, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Poiché P(A∩B)≠0, A e B non possono escludersi a vicenda.
Supponiamo che un'urna contenga 7 biglie bianche e 8 biglie nere. Definisci l'evento A come disegnare una biglia bianca e l'evento B come disegnare una biglia nera. Supponendo che ogni biglia venga sostituita dopo aver annotato il suo colore, allora P(A) e P(B) saranno sempre gli stessi, non importa quante volte attingiamo dall'urna. Sostituire le biglie significa che le probabilità non cambiano da un'estrazione all' altra, indipendentemente dal colore che abbiamo scelto nell'ultima estrazione. Pertanto, l'evento A e B sono indipendenti.
Tuttavia, se le biglie sono state pescate senza rimpiazzo, allora tutto cambia. Sotto questa ipotesi, gli eventi A e B non sono indipendenti. Disegnare una biglia bianca la prima volta cambia le probabilità di estrarre una biglia nera alla seconda estrazione e così via. In altre parole, ogni estrazione ha effetto sull'estrazione successiva, quindi le singole estrazioni non sono indipendenti.
Differenza tra eventi mutualmente esclusivi e indipendenti
– L'esclusività reciproca degli eventi significa che non c'è sovrapposizione tra gli insiemi A e B. L'indipendenza degli eventi significa che l'accadere di A non influisce sull'accadere di B.
– Se due eventi A e B si escludono a vicenda, allora P(A∩B)=0.
– Se due eventi A e B indipendenti, allora P(A∩B)=P(A). P(B)
