Ortogonale vs Ortonormale
In matematica, le due parole ortogonale e ortonormale sono usate frequentemente insieme a un insieme di vettori. Qui, il termine "vettore" è usato nel senso che è un elemento di uno spazio vettoriale, una struttura algebrica usata nell'algebra lineare. Per la nostra discussione, considereremo uno spazio di prodotto interno – uno spazio vettoriale V insieme a un prodotto interno definito su V.
Ad esempio, per un prodotto interno, lo spazio è l'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionali insieme al solito prodotto scalare.
Cos'è l'ortogonale?
Un sottoinsieme S non vuoto di uno spazio prodotto interno V si dice ortogonale, se e solo se per ogni distinto u, v in S, [u, v]=0; cioè il prodotto interno di u e v è uguale allo scalare zero nello spazio prodotto interno.
Ad esempio, nell'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionali, ciò equivale a dire che, per ogni coppia distinta di vettori di posizione p e q in S, p e q sono perpendicolari tra loro. (Ricorda che il prodotto interno in questo spazio vettoriale è il prodotto scalare. Inoltre, il prodotto scalare di due vettori è uguale a 0 se e solo se i due vettori sono perpendicolari tra loro.)
Considera l'insieme S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, che è un sottoinsieme dei vettori di posizione tridimensionali. Osserva che (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0)., 5)=0. Quindi, l'insieme S è ortogonale. In particolare, due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto interno è 0. Pertanto, ogni coppia di vettori in Sis è ortogonale.
Cos'è l'ortonormale?
Un sottoinsieme S non vuoto di uno spazio prodotto interno V si dice ortonormale se e solo se S è ortogonale e per ogni vettore u in S, [u, u]=1. Pertanto, si può vedere che ogni insieme ortonormale è ortogonale ma non viceversa.
Ad esempio, nell'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionali, ciò equivale a dire che, per ogni coppia distinta di vettori di posizione p e q in S, p e q sono perpendicolari tra loro, e per ogni p in S, |p|=1. Questo perché la condizione [p, p]=1 si riduce a p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, che equivale a |p |=1. Pertanto, dato un insieme ortogonale possiamo sempre formare un corrispondente insieme ortonormale dividendo ogni vettore per la sua grandezza.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} è un sottoinsieme ortonormale dell'insieme di tutti i vettori di posizione tridimensionali. È facile vedere che è stato ottenuto dividendo ciascuno dei vettori nell'insieme S, per le loro grandezze.
Qual è la differenza tra ortogonale e ortonormale?
- Un sottoinsieme S non vuoto di uno spazio prodotto interno V si dice ortogonale, se e solo se per ogni distinto u, v in S, [u, v]=0. Tuttavia, è ortonormale, se e solo se è soddisfatta una condizione aggiuntiva – per ogni vettore u in S, [u, u]=1.
- Qualsiasi insieme ortonormale è ortogonale ma non viceversa.
- Qualsiasi insieme ortogonale corrisponde a un unico insieme ortonormale, ma un insieme ortonormale può corrispondere a molti insiemi ortogonali.
