Associativo vs Commutativo
Nella nostra vita quotidiana, dobbiamo usare i numeri ogni volta che abbiamo bisogno di misurare qualcosa. Al supermercato, al benzinaio e anche in cucina, dobbiamo sommare, sottrarre e moltiplicare due o più quantità. Dalla nostra pratica, eseguiamo questi calcoli abbastanza facilmente. Non ci accorgiamo né ci interroghiamo mai sul motivo per cui eseguiamo queste operazioni in questo modo particolare. O perché questi calcoli non possono essere eseguiti in un modo diverso. La risposta è nascosta nel modo in cui queste operazioni sono definite nel campo matematico dell'algebra.
In algebra, un'operazione che coinvolge due quantità (come l'addizione) è definita come un'operazione binaria. Più precisamente è un'operazione tra due elementi di un insieme e questi elementi sono chiamati "operando". Molte operazioni in matematica, comprese le operazioni aritmetiche menzionate in precedenza e quelle incontrate nella teoria degli insiemi, nell'algebra lineare e nella logica matematica, possono essere definite come operazioni binarie.
Esiste una serie di regole che disciplinano una specifica operazione binaria. Le proprietà associative e commutative sono due proprietà fondamentali delle operazioni binarie.
Ulteriori informazioni sulla proprietà commutativa
Supponiamo che qualche operazione binaria, indicata dal simbolo ⊗, venga eseguita sugli elementi A e B. Se l'ordine degli operandi non influisce sul risultato dell'operazione, si dice che l'operazione è commutativa. cioè se A ⊗ B=B ⊗ A allora l'operazione è commutativa.
L'addizione e la moltiplicazione delle operazioni aritmetiche sono commutative. L'ordine dei numeri sommati o moltiplicati insieme non influisce sulla risposta finale:
LA + SI=SI + LA ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
LA × SI=SI × LA ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Ma nel caso di divisione il cambiamento nell'ordine dà il reciproco dell' altro, e in sottrazione il cambiamento dà il negativo dell' altro. Pertanto, LA – SI ≠ SI – LA ⇒ 4 – 5=-1 e 5 – 4=1
LA ÷ SI ≠ SI ÷ LA ⇒ 4 ÷ 5=0.8 e 5 ÷ 4=1.25 [in questo caso A, B ≠ 1 e 0]
In effetti, si dice che la sottrazione sia anti-commutativa; dove LA – SI=– (SI – LA).
Inoltre, i connettivi logici, la congiunzione, la disgiunzione, l'implicazione e l'equivalenza, sono anch'essi commutativi. Anche le funzioni di verità sono commutative. L'unione e l'intersezione delle operazioni sugli insiemi sono commutative. Anche l'addizione e il prodotto scalare dei vettori sono commutativi.
Ma la sottrazione vettoriale e il prodotto vettoriale non sono commutativi (il prodotto vettoriale di due vettori è anti-commutativo). L'addizione della matrice è commutativa, ma la moltiplicazione e la sottrazione non sono commutative.(La moltiplicazione di due matrici può essere commutativa in casi speciali, come la moltiplicazione di una matrice con la sua inversa o la matrice identità; ma sicuramente le matrici non sono commutative se le matrici non sono della stessa dimensione)
Ulteriori informazioni sulla proprietà associativa
Un'operazione binaria si dice associativa se l'ordine di esecuzione non influisce sul risultato quando sono presenti due o più occorrenze dell'operatore. Considera gli elementi A, B e C e l'operazione binaria ⊗. L'operazione ⊗ si dice associativa se
LA ⊗ SI ⊗ C=LA ⊗ (SI ⊗ DO)=(LA ⊗ SI) ⊗ DO
Dalle funzioni aritmetiche di base, solo l'addizione e la moltiplicazione sono associative.
LA + (SI + DO)=(LA + SI) + DO ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
LA × (SI × DO)=(LA × SI) × DO ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
La sottrazione e la divisione non sono associative;
LA – (SI – DO) ≠ (LA – SI) – DO ⇒ 4 – (5 – 3)=2 e (5 – 4) – 3=-2
LA ÷ (SI ÷ DO) ≠ (LA ÷ SI) ÷ DO ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 e (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
I connettivi logici disgiunzione, congiunzione ed equivalenza sono associativi, così come l'unione e l'intersezione delle operazioni sugli insiemi. La matrice e l'addizione del vettore sono associative. Il prodotto scalare dei vettori è associativo, ma il prodotto vettoriale non lo è. La moltiplicazione della matrice è associativa solo in circostanze speciali.
Qual è la differenza tra proprietà commutativa e associativa?
• Sia la proprietà associativa che quella commutativa sono proprietà speciali delle operazioni binarie, e alcune le soddisfano e altre no.
• Queste proprietà possono essere viste in molte forme di operazioni algebriche e altre operazioni binarie in matematica, come l'intersezione e l'unione nella teoria degli insiemi o nei connettivi logici.
• La differenza tra commutativa e associativa è che la proprietà commutativa afferma che l'ordine degli elementi non cambia il risultato finale mentre la proprietà associativa afferma che l'ordine in cui viene eseguita l'operazione non influisce sulla risposta finale.
