Equazioni differenziali lineari e non lineari
Un'equazione contenente almeno un coefficiente differenziale o derivata di una variabile sconosciuta è nota come equazione differenziale. Un'equazione differenziale può essere lineare o non lineare. Lo scopo di questo articolo è spiegare cos'è l'equazione differenziale lineare, cos'è l'equazione differenziale non lineare e qual è la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari.
Dallo sviluppo del calcolo nel 18° secolo da parte di matematici come Newton e Leibnitz, l'equazione differenziale ha giocato un ruolo importante nella storia della matematica. Le equazioni differenziali sono di grande importanza in matematica a causa della loro gamma di applicazioni. Le equazioni differenziali sono al centro di ogni modello che sviluppiamo per spiegare qualsiasi scenario o evento nel mondo, che si tratti di fisica, ingegneria, chimica, statistica, analisi finanziaria o biologia (l'elenco è infinito). In effetti, fino a quando il calcolo non è diventato una teoria consolidata, non erano disponibili strumenti matematici adeguati per analizzare i problemi interessanti della natura.
Le equazioni risultanti da una specifica applicazione del calcolo possono essere molto complesse e talvolta non risolvibili. Tuttavia, ce ne sono di che possiamo risolvere, ma possono sembrare simili e confondere. Pertanto, per una più facile identificazione, le equazioni differenziali sono classificate in base al loro comportamento matematico. Lineare e non lineare è una di queste categorizzazioni. È importante identificare la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari.
Cos'è un'equazione differenziale lineare?
Supponiamo che f: X→Y e f(x)=y, un'equazione differenziale senza termini non lineari della funzione incognita y e delle sue derivate sia nota come equazione differenziale lineare.
Impone la condizione che y non possa avere termini di indice più alti come y2, y3, … e multipli di derivati come come
Inoltre non può contenere termini non lineari come Sin y, e y ^-2, o ln y. Prende la forma,
dove y e g sono funzioni di x. L'equazione è un'equazione differenziale di ordine n, che è l'indice della derivata di ordine più alto.
In un'equazione differenziale lineare, l'operatore differenziale è un operatore lineare e le soluzioni formano uno spazio vettoriale. Come risultato della natura lineare dell'insieme di soluzioni, una combinazione lineare delle soluzioni è anche una soluzione dell'equazione differenziale. Cioè, se y1 e y2 sono soluzioni dell'equazione differenziale, allora C1 y 1+ C2 y2 è anche una soluzione.
La linearità dell'equazione è solo un parametro della classificazione e può essere ulteriormente classificata in equazioni differenziali omogenee o non omogenee e ordinarie o alle derivate parziali. Se la funzione è g=0 allora l'equazione è un'equazione differenziale omogenea lineare. Se f è una funzione di due o più variabili indipendenti (f: X, T→Y) e f(x, t)=y, allora l'equazione è un'equazione differenziale parziale lineare.
Il metodo di risoluzione dell'equazione differenziale dipende dal tipo e dai coefficienti dell'equazione differenziale. Il caso più semplice si ha quando i coefficienti sono costanti. Un classico esempio per questo caso è la seconda legge del moto di Newton e le sue varie applicazioni. La seconda legge di Newton produce un'equazione differenziale lineare del secondo ordine con coefficienti costanti.
Cos'è un'equazione differenziale non lineare?
Le equazioni che contengono termini non lineari sono note come equazioni differenziali non lineari.
Tutto quanto sopra sono equazioni differenziali non lineari. Le equazioni differenziali non lineari sono difficili da risolvere, pertanto è necessario uno studio approfondito per ottenere una soluzione corretta. Nel caso di equazioni alle derivate parziali, la maggior parte delle equazioni non ha una soluzione generale. Pertanto, ogni equazione deve essere trattata in modo indipendente.
L'equazione di Navier-Stokes e l'equazione di Eulero in fluidodinamica, le equazioni di campo di Einstein della relatività generale sono ben note equazioni alle derivate parziali non lineari. A volte l'applicazione dell'equazione di Lagrange a un sistema variabile può risultare in un sistema di equazioni alle derivate parziali non lineari.
Qual è la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari?
• Un'equazione differenziale, che ha solo i termini lineari della variabile sconosciuta o dipendente e delle sue derivate, è nota come equazione differenziale lineare. Non ha termine con la variabile dipendente di indice maggiore di 1 e non contiene alcun multiplo delle sue derivate. Non può avere funzioni non lineari come funzioni trigonometriche, funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche rispetto alla variabile dipendente. Qualsiasi equazione differenziale che contenga i termini sopra menzionati è un'equazione differenziale non lineare.
• Soluzioni di equazioni differenziali lineari creano spazio vettoriale e anche l'operatore differenziale è un operatore lineare nello spazio vettoriale.
• Le soluzioni di equazioni differenziali lineari sono relativamente più semplici ed esistono soluzioni generali. Per le equazioni non lineari, nella maggior parte dei casi, la soluzione generale non esiste e la soluzione può essere specifica del problema. Ciò rende la soluzione molto più difficile delle equazioni lineari.
